\documentclass[a4paper,10pt]{article}
% Ce travail est couvert par la licence ``Creative common''
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% pour plus de précisions.
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% Néanmoins, vous etes libre d'utiliser ce travail, de le modifier.
% Je vous demande d'etre assez aimable pour citer mon nom comme initiateur.
% (Ce que la licence vous contraint de faire d'ailleurs!) 
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%
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%opening
\title{Etude de fonctions: procédure et exemple}
\author{Yves Delhaye}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d'une étude de fonction à travers un exemple.

Nous nous limitons à des fonctions réelles d'une variable réelle.

Et m\^{e}me strictement à un quotient de polynômes.

Nous essayons de présenter chacune des étapes non seulement du point de vue mathématique strict (càd. ``faire les opérations rigoureusement'') mais aussi du point de vue du ``sens mathématique'' (``pourquoi faire ceci à ce moment précis'').

Le texte est encore un mélange de notes de cours destinées aux élèves et de notes plus personnelle du type ``notes dans les marges à destination des enseignants''.

Ceci sert aussi de préparation pour un ``générateur d'interrogation'' destiné aux études de fonctions.

Il s'agit d'un ``bac à sable'' pour de futurs projets donc!

La table des matières est ``cliquable``.
\end{abstract}

\tableofcontents
\newpage
\section{Introduction}
	Les fonctions sont présentes partout:
	\begin{list}{}{}
	\item En sciences, si nous étudions l'évolution d'une réaction chimique, les forces électriques entre des corps chargés, les liaisons chimiques, la croissance de plantes ou de population de bactéries.
	\item En économie, lorsque nous devons nous pencher sur l'évolution d'un marché ou la rentabilité d'une société.
	\item En mathématique, leur étude nous prépare à d'autres surprises.
	\end{list}
	
	Réaliser une étude de fonction rigoureusement est la clé de la compréhension de phénomènes qui sont, autrement, incompréhensibles.
	
	Nous allons, à titre d'exemple prendre une fonction et l'étudier complètement.
  
	\subsection{Plan}
		Il faut tout d'abord avoir un plan des différentes étapes à réaliser.
		Ces étapes ne sont pas indépendantes et s'enchaînent logiquement.
		Dans l'introduction de chaque étape, nous discuterons d'ailleurs du pourquoi de ``cette étape maintenant''.
		Nous repasserons sur chacune de ces étapes en fin de travail pour nous rappeler la raison de leur enchaînement.
		
		\begin{list}{}{}
		 \item Périodicité
		 \item Zéros
		 \item Domaine
		 \item Limites
		 \item Etude du signe
		 \item Asymptotes
		 \item Dérivées
		 \item Tableau de variation
		 \item Valeurs pour quelques points
		 \item Tangentes
		 \item Graphique
		\end{list}

	
\section{La fonction}
Il y a différents types de fonctions:
		\begin{list}{}{}
		 \item les puissances,
		 \item les polynômes,
		 \item les fonctions trigonométriques,
		 \item les fonctions exponentielles,
		 \item et toutes les combinaisons possibles des précédentes...
% 		 		\begin{list}{}{}
% 		 		 \item sommes,
% 		 		 \item produits,
% 		 		 \item puissances,
% 		 		 \item compositions...
% 		 		\end{list}
		\end{list}
	\subsection{Choix de fonction}
		Choisissons notre fonction:
			\[
			f: R \rightarrow R, x \rightarrow \frac{x^{4}+5\* x^{3}+2\* x^{2}-(20\* x)-24}{x^{3}+8\* x^{2}+21\* x+18}
			\]
			Ce qui signifie que
			\[
			f(x) = \frac{x^{4}+5\* x^{3}+2\* x^{2}-(20\* x)-24}{x^{3}+8\* x^{2}+21\* x+18}
			\]
			
		Il s'agit donc d'un rapport de 2 polynômes.
		
	
	\subsection{Numérateur et dénominateur}
		La fonction $f(x)$ peut donc s'écrire comme le rapport de deux fonctions $g(x)$ et $h(x)$:
			\[
			f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}
			\]
			où
			\[
			g: R \rightarrow R, x \rightarrow  x^{4}+5\* x^{3}+2\* x^{2}-(20\* x)-24
			\]
			et où
			\[
			h: R \rightarrow R, x \rightarrow  x^{3}+8\* x^{2}+21\* x+18
			\]

	\subsection{Factorisations}

		Commençons par factoriser numérateur et dénominateur.
		Ceci afin, éventuellement, de simplifier l'écriture.
		
		Nous préparons, ce faisant, deux points suivants: la recherche des zéros et l'étude du domaine de la fonction.

		Cherchons des valeurs de x pour lequelles g(x) et h(x) s'annulent.
		
		 Nous avons choisi des fonctions ``gentilles''. Essayons donc quelques valeurs entières (-3, -2, ..., 3) pour les x de g(x) et h(x).
		 

		g(x) s'annule pour les valeurs suivantes de x: -3, -2, 2.
		g(x) est un polynôme de puissance quatre et peut donc s'écrire comme le produit des quatre monômes suivants:
		\[
		 g(x) = (x+3)\* (x+2)\* (x-2)\* (x-a)
		\]
		Il nous manque encore $a$.
		
		Développons donc $g(x)$ en polynôme.
		\[
		\begin{array}{ll}
		  g(x) &= x^{4}+5\* x^{3}+2\* x^{2}-20\* x -24\\
		   &= x^{4}+3\* x^{3} -a\* x^{3}-3\* a\* x^{2}-4\* x^{2}+4\* a\* x-12\* x +12\* a\\
		   &= x^{4}+(3-a)\* x^{3}-(3\* a +4)\* x^{2}+(4\* a-12)\* x +12\* a
		\end{array}
		\]
		
		Nous voyons immédiatement que $a = -2$.
		Remarquons ici que $a$ n'existe pas toujours dans les réels.



		g(x) peut donc s'écrire:
		\[
		 g(x) = (x-2)\* (x+2)^{2}\* (x+3)
		\]
		
		h(x) s'annule pour les valeurs suivantes de x: -3, -2.
		et, si nous faisons le m\^{e}me type de raisonnement que pour g(x), h(x) s'écrira
		\[
		 h(x) = (x+2)\* (x+3)^{2}
		\]

		f(x) s'écrit alors
		\[
		 f(x) = \frac{(x-2)\* (x+2)^{2}\* (x+3)}{(x+2)\* (x+3)^{2}}
		\]
		Simplifions alors f(x):
		\[
		 f(x) = \frac{(x-2)\* (x+2)}{x+3}
		\]
		ou encore
		\[
		 f(x) = \frac{x^2-4}{x+3}
		\]
		Nous écrirons donc f(x) comme un rapport de deux fonctions plus simples: $i(x)$ et $j(x)$.
		\[
		 f(x) = \frac{i(x)}{j(x)}
		\]
		où
		\[
		 i(x) = x^2-4 = (x-2)\* (x+2)
		\]
		et où
		\[
		 j(x) = x+3
		\]




		
\section{Périodicité}
	Cette fonction n'est pas périodique. Nous discuterons cette question dans un autre exemple.
\section{Zéros, intersections avec les axes}
	\subsection{Intersections avec l'axe horizontal}
		Savoir où une fonction s'annule prépare l'étude des signes.
		f(x) s'annule là où i(x) s'annule.
		Dans notre cas en $+2$ et $-2$ donc.
	\subsection{Intersections avec l'axe vertical}
		Si $x=0$ alors $f(x) = f(0)$ et
		\[
		 f(0) =\frac{-4}{3}
		\]

\section{Domaine}
	Savoir où une fonction n'existe pas prépare aussi l'étude des signes mais également l'étude des limites.
	f(x) n'existe pas là où j(x) s'annule.
	Dans notre cas en $x=-3$ donc.

	Le domaine de f(x) est donc:
	\[
	 dom\ f\ =\ R \backslash \{-3\}
	\]

\section{Limites}
	Pas de grosse surprise ici.
	Il faut chercher la limite à gauche et la limite à droite de f(x) autour de $x=-3$.

	La limite à gauche est
	\[
	 \lim_{x \to -3,\ x<-3} f(x) = -\infty	 
	\]
	
	
	La limite à droite est
	\[
	 \lim_{x \to -3,\ x>-3}f(x) = +\infty
	\]

\section{Etude du signe}
	Pour étudier le signe de f(x), nous devons considérer les signes de i(x) et de j(x).
	\begin{center}
	% use packages: array
	\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	x &  & -3 &  & -2 &  & +2 &  \\ 
	\hline \hline
	i(x) & + & + & + & 0 & - & 0 & + \\ 
	\hline
	j(x) & - & 0 & + & + & + & + & + \\ 
	\hline \hline
	f(x) & - & $\pm \infty$ & + & 0 & - & 0 & + \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}

\section{Asymptotes}
	\subsection{Asymptotes verticales}
		\subsubsection{Définition} La droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale de la fonction $y=f(x)$ si 
		\[
		\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty
		\]
		\subsubsection{Technique de recherche}
		L'étude du domaine de la fonction permet, sauf surprise, de trouver la (ou les) asymptote(s) verticale(s).
		\subsubsection{Détermination}
		L'asymptote verticale de f(x) est donc la droite d'équation $x = -3$.
		

	\subsection{Asymptotes horizontales}
		\subsubsection{Définition} La droite d'équation $y=b$ est une asymptote horizontale de la fonction $y=f(x)$ si 
		\[
		\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b
		\]
		\subsubsection{Technique de recherche}
		Il suffit de chercher les limites.
		\subsubsection{Détermination}
		Il n'y a pas d'asymptote horizontale dans ce cas.
		
	\subsection{Asymptotes obliques}
		\subsubsection{Définition} La droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique de la fonction $y=f(x)$ si 
		\[
		\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - (ax + b)) = 0
		\]
		\subsubsection{Technique de recherche}
		En conséquence de la définition, nous pouvons écrire:
		\[
		 a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}
		\]
		et
		\[
		 b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)
		\]
		\subsubsection{Détermination}
		Si nous cherchons ces limites, nous obtenons en $+ \infty$ comme en $- \infty$: $a=1$ et $b=-3$.
		
		La droite $y=x-3$ est donc l'asymptote oblique de de $f(x)$.
	
\section{Dérivées}
	\subsection{Dérivée première}
	\subsubsection{Détermination}
		Comme $f(x)=\frac{i(x)}{j(x)}$, la dérivée première de f(x) est du type:
		\[
		f'(x)=\frac{i'(x)\* j(x) - i(x)\* j'(x)}{(j(x))^2}
		\]
	
		La dérivée première de f(x) est
		\[
		f'(x) = \frac{x^{2}+6\* x+4}{x^{2}+6\* x+9}
		\]
	\subsubsection{Extrema}
		La derivée première s'annule lorsque $x = \sqrt{5}-3$ et $x = -\sqrt{5}-3$.
		%càd approximativement en -5,236067977 et en -0,763932023
		
		Son domaine est également
		\[
		dom\ f\ =\ R \backslash \{-3\}
		\]
		

	\subsection{Tableau de signe de la dérivée première}
		\begin{center}
		% use packages: array
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		x &  & $-\sqrt{5}-3$ &  & -3 &  & $\sqrt{5}-3$ &  \\ 
		\hline \hline
		$(x^{2}+6\* x+4)$ & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ 
		\hline
		$(x^{2}+6\* x+9)$ & + & + & + & 0 & + & + & + \\ 
		\hline \hline
		f'(x) & + & 0 & - & $\pm \infty$ & - & 0 & + \\
		\hline
		\end{tabular}
		\end{center}


	\subsection{Dérivée seconde}
	\subsubsection{Détermination}
	La dérivée seconde de f(x) en x est
		\[
		f''(x) = \frac{10}{x^{3}+9\* x^{2}+27\* x+27}
		\]
	\subsubsection{Zéros de la dérivée seconde}
	Il n'y pas de zéros dans notre cas mais son domaine est aussi
	\[
	 dom\ f\ =\ R \backslash \{-3\}
	\]
	Son signe est donné par le signe de
	\[
	 m(x) = x^{3}+9\* x^{2}+27\* x+27
	\]
	C'est à dire que $f''(x)$ est $<0$ si $x<-3$ et $>0$ si $x>-3$.





\section{Tableau de variation}
	Le tableau de variation permet de synthétiser toutes les informations obtenues jusqu'à présent.


		\begin{center}
		% use packages: array
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		x &  & $-\sqrt{5}-3$ &  & -3 & & -2 & & $\sqrt{5}-3$ & & +2 &  \\ 
		\hline \hline
		f''(x) & - & - & - & $\pm \infty$ & + & + & + & + & + & + & + \\
		\hline
		f'(x) & + & 0 & - & $\pm \infty$ & - & - & - & 0 & + & + & + \\
		\hline \hline
		f(x) & - & - & - & $\pm \infty$ & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\
		\hline
		f(x) & $\nearrow$ & Max. & $\searrow $& $\pm \infty$ & $\searrow$ & 0 & $\searrow$ & Min. & $\nearrow$  & 0 & $\nearrow$ \\
		\hline		
		\end{tabular}
		\end{center}


\section{Valeurs pour quelques points}
	Pour réaliser le graphique, il faut chercher quelques valeurs de $f(x)$ pour quelques $x$ entiers.
	Nous connaissons déjà les zéros de la fonction et les points où la dérivée première s'annulait.
	
	
	Tant qu'à faire, déterminons la valeur de la dérivée première en ces m\^{e}mes points.
	
	
		\begin{center}
		% use packages: array
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		x & -6 & $-\sqrt{5}-3$ & -4 & -3 & -2 & -1 & $\sqrt{5}-3$ & 0 & +1 & +2 & +3 \\ 
		\hline \hline
		f'(x) & $\frac{4}{9}$ & 0 & -12 & $\pm \infty$ & -4 & $\frac{-1}{4}$  & 0 & $\frac{4}{9}$ & $\frac{11}{16}$ & $\frac{4}{5}$ & $\frac{5}{6}$ \\
		\hline
		f(x) & $\frac{-32}{3}$ & $\frac{(\sqrt{5}+3)^{2}-4}{ -\sqrt{5}} $ & -4 & $\pm \infty$ & 0  & $\frac{-3}{2}$ & $\frac{(\sqrt{5}-3)^{2}-4}{\sqrt{5}} $ & $\frac{-4}{3}$ & $\frac{-3}{4}$ & 0 & $\frac{31}{36}$ \\
		\hline		
		\end{tabular}
		\end{center}

\section{Tangentes}
	Rappelons que la valeur de la dérivée première pour un $x$ donné est la pente de la tangente au point de coordonnées $(x; f(x))$.
	
	C'est à dire que pour un $x = X$, le point où passe la tangente est le point de coordonnées $(X; f(X))$. La tangente a pour équation:
	\[
	y = f'(X) . x + b
	\]
	Pour obtenir la valeur de $b$ (l'ordonnée à l'origine), il faut remarquer que la tangente à la courbe et la courbe ont un point en commun: le point de contact de coordonnées $(X; f(X))$. Pour déterminer $b$ il faut donc résoudre l'équation:
	\[
	f(X) = f'(X) . X + b
	\]
	$b$ est donc égal à:
	\[
	b = f(X) - f'(X) . X 
	\]
	L'équation générale devient donc:
	
	\[
	y = f'(X) . x + (f(X) - f'(X) . X)
	\]
	

	\subsection{Tangentes aux extrema}
		Limitons nous, dans un premier temps, à la détermination des tangentes lorsque la dérivée première s'annule. C'est à dire lorsque $x = \sqrt{5}-3$ et $x = -(\sqrt{5})-3$.
		
		Comme, aux extrema, la dérivée s'annule, la tangente a pour équation:
		\[
		y = 0 . x + (f(X) - 0 . X)
		\]
		càd.
		\[
		y = f(X)
		\]
		
		Il s'agira de droites horizontales d'équation $y=cste.$.
		
		Les constantes étant la valeur de $f(x)$ en $x = \sqrt{5}-3$ et $x = -(\sqrt{5})-3$.
		Les 2 tangentes ont donc pour équations:
		\[
		y = \frac{(\sqrt{5}-3)^{2}-4}{\sqrt{5}} 
		\]
		et
		\[
		y = \frac{(\sqrt{5}+3)^{2}-4}{ -\sqrt{5}}
		\]
	\subsection{Tangente en x = 0}
	En $x = 0$,
	\[
	y = f'(X) . x + (f(X) - f'(X) . X)
	\]
	devient
	\[
	y = f'(0) . x + f(0)
	\]
	càd.
	\[
	y = \frac{4}{9} . x - \frac{4}{3}
	\]
	\subsection{Tangente en y = 0}
	Continuons notre recherche de tangentes en des points particuliers.
	
	En $y = 0$, càd. aux zéros de la fonction,
	\[
	y = f'(X) . x + (f(X) - f'(X) . X)
	\]
	devient
	\[
	y = f'(X) . x - f'(X) . X
	\]
	
	En $x = -2$, la tangente aura pour équation:
	\[
	y = -4x -8
	\]
	
	En $x = +2$ nous aurons alors:
	\[
	y = \frac{4}{5} x -\frac{8}{5}
	\]


	\subsection{Tangentes en quelques points quelconques}
	En $x = -6$,
	\[
	y = f'(X) . x + (f(X) - f'(X) . X)
	\]
	devient
	\[
	y = f'(-6) . x + (f(-6) - (f'(-6). (-6)))
	\]
	càd.
	\[
	y = \frac{4}{9} . x + (\frac{-32}{3} -(\frac{4}{9}. (-6))
	\]
	ou encore
	\[
	y = \frac{4}{9} . x + \frac{-32}{3} + \frac{8}{3}
	\]
	et donc finalement
	\[
	y = \frac{4}{9} . x -8
	\]
		
		
	En $x = -4$,
	\[
	y = f'(-4) . x + (f(-4) - (f'(-4). (-4)))
	\]
	etc
	
\newpage
\section{Le graphique}
	\begin{tikzpicture}[domain=-8:5]
	%[domain=-3.2:-3.1]
	%[domain=-2.0:3.2]
	\draw[very thin,color=gray] (-8.1,-14.1) grid (5.1,5.1);
% bgn axes
	\draw[->] (-8.2,0) -- (5.2,0) node[right] {$x$};
	\draw[->] (0,-14.2) -- (0,5.2) node[above] {$f(x)$};
% end axes
% bgn graduations
      \foreach \x in {0,1}
        \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};
      \foreach \y in {0,1}
        \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
% end graduations
% bgn fct
 	\draw[color=blue] plot[id=fx1,domain=-8.2:-3.7] function{(((x-2)*(x+2))/(x+3))};
 	% node[right] {$f(x) = \frac{x^{4}+5\* x^{3}+2\* x^{2}-(20\* x)-24}{x^{3}+8\* x^{2}+21\* x+18} $};
	\draw[color=blue] plot[id=fx2,domain=-2.5:5.2] function{(((x-2)*(x+2))/(x+3))} node[right] {$f(x) = \frac{x^{2}-4}{x+3} $};
% end fct

% bgn asymptote
	\draw[-,color=red]  (-3,-13.5) -- (-3,4.5) node[left] {$x=-3 $};
	\draw[color=orange] plot[id=AsVert1,domain=-8.2:5.2] function{x-3} node[right] {$y = x-3 $};
%	\draw[color=red] plot[id=AsVrFx] function{((x-2)*(x+2))} node[right] {$i(x) = x^{4}-4 $};
% end asymptote

% bgn tgtes
%% tgtes Min Max
	\draw[color=green] plot[id=tgMax,domain=-1.5:3.5] function{-1.527864045} node[anchor=north] {$y = \frac{(\sqrt{5}-3)^{2}-4}{\sqrt{5}} $};
	\draw[color=green] plot[id=tgMin,domain=-6.5:-3.5] function{-10.472135955} node[anchor=north] {$y = \frac{(\sqrt{5}+3)^{2}-4}{ -\sqrt{5}} $};
%% tgte x=0
	\draw[color=green] plot[id=tg0,domain=-0.5:1.5] function{0.44444*x - 1.33333} node[anchor=west] {$y = \frac{4}{9} . x - \frac{4}{3} $};
%% tgtes y=0
	\draw[color=green] plot[id=tg01,domain=-2.6:-1.4] function{-4*x - 8} node[anchor=west] {$y = -4x -8$};
	\draw[color=green] plot[id=tg02,domain=1.5:3.7] function{0.8*x - 1.6} node[anchor=west] {$y = \frac{4}{5} x - \frac{8}{5} $};
%% tgtes qcques
	\draw[color=green] plot[id=tgM6,domain=-7.5:-2.5] function{0.44444*x - 8} node[anchor=west] {$y = \frac{4}{9} . x -8 $};

% end tgtes
	\end{tikzpicture}

\section{Résumé}

\end{document}
